Desigualdades con Valor Absoluto:



Una desigualdad con valor absoluto implica una expresión que contiene el valor absoluto de una variable y establece una relación con un número real. La desigualdad \( |x - a| < b \) significa que la distancia entre \( x \) y \( a \) en la recta numérica es menor que \( b \).

Ejercicio Resuelto:

Resolver la desigualdad \( |2x - 3| < 5 \):

1. Descomponer en dos casos:

   - Caso 1: \( 2x - 3 < 5 \)

     - Resolviendo para \( x \): \( 2x < 8 \), \( x < 4 \)

   - Caso 2: \( -(2x - 3) < 5 \)

     - Resolviendo para \( x \): \( -2x + 3 < 5 \), \( -2x < 2 \), \( x > -1 \)


2. Unir los resultados de ambos casos: \( -1 < x < 4 \).


Función de Variable Real:



Una función de variable real asigna a cada número real en su dominio exactamente un número real en su contradominio. 


Ejercicio Resuelto:


Sea \( f(x) = 2x + 1 \), encontrar \( f(3) \):


\[ f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \]


Clasificación de Funciones:


Las funciones se clasifican en diferentes categorías según sus propiedades y comportamientos. Algunas categorías comunes son:


1. Lineales: Tienen la forma \( f(x) = mx + b \), donde \( m \) y \( b \) son constantes.


2. Cuadráticas: Tienen la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son constantes.


3. Exponenciales: Tienen la forma \( f(x) = a \cdot b^x \), donde \( a \) y \( b \) son constantes y \( b \) es positivo.


4. Logarítmicas: Tienen la forma \( f(x) = \log_b(x) \), donde \( b \) es la base del logaritmo.


Ejercicio Resuelto:


Identificar la función \( g(x) = 3x^2 - 2x + 1 \):


Esta función es cuadrática, ya que tiene la forma \( ax^2 + bx + c \) con \( a = 3 \), \( b = -2 \) y \( c = 1 \).


Estos ejemplos proporcionan una introducción básica a los conceptos y ejercicios relacionados con el valor absoluto, funciones de variable real y la clasificación de funciones. Si necesitas más detalles o ejercicios adicionales, estaré encantado de ayudarte.